Attore statunitense, con origini irlandesi e ungheresi, che inizia presto a lavorare in televisione: nel 1954 vince un concorso per giovani talenti con un pezzo scritto da Bill Dana e partecipa al Bill Dana Show, dove interpreta il personaggio di Byron Glick, un detective pasticcione sul modello del successivo Maxwell Smart.

Mel Brooks e Buck Henry, autori del telefilm Get Smart, scrissero la sitcom pensando al ruolo da protagonista per un altro attore, Tom Poston. Get Smart doveva essere trasmessa dalla CBS, ma quando il network rinunciò, fu acquisita dalla NBC. E Adams fu scritturato, essendo già sotto contratto con l'emittente.

Get Smart fu un successo fin dall'inizio, nel 1965, grazie al buon feeling con l'attrice Barbara Feldon, nel ruolo della compagna di Smart: l'Agente 99. I due son rimasti ottimi amici anche in seguito.

Addirittura Adams produsse e diresse alcuni episodi della sitcom, ricevendo la nomination agli Emmy Awards per quattro anni consecutivi (1966, 1967, 1968 e 1969)e vincendo tre volte.

Quando Get Smart termina, l'attore prende parte a vari altri progetti (dal 1985 al 1988 recita nella serie Il supermercato più pazzo del mondo, recentemente ha prestato la voce al cane Brian nel film L'Ispettore Gadget con Matthew Broderick)e pubblicità.

Ma la sua popolarità rimane legata al ruolo dell'Agente imbranato di Get Smart.

Muore a Beverly Hills - Los Angeles nel settembre del 2005, per un'infezione polmonare.

Adams è stato sposato ben tre volte, e ha sette figli.